\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\newtheorem{satz}{Satz}
\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}

\begin{document}
\chapter{Differentiation}

\chapter{Integration}

\section{Bestimmtes und unbestimmtes Integral}

\section{Integrationsregeln}

\begin{table}
\caption{Stammfunktionen}
\label{tab:Stammfunktionen}
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 
& & & & \\
f(x) & F(x) & & f(x) & F(x) \\ 
& & & & \\
\hline \hline
& & & & \\
x^s\,,\,s\neq- 1  & x^{s+1}/(s+1) & & 1/x & \ln |x| \\[1ex] 
& & & & \\
\hline
& & & & \\
\exp(x) & \exp(x) & & \ln(x) & x\ln(x)-x \\
& & & & \\
\hline
& & & & \\
\sin x & -\cos x  & & \cos x  & \sin x  \\
& & & & \\
\hline
& & & & \\
\tan x  & -\ln(\cos x ) & & \sin x \cos x & \sin^2(x)/2 \\
& & & & \\
\hline
& & & & \\
1/(1+x^2) & \arctan x  & & 1/\sqrt{1-x^2} & \arcsin x  \\ 
& & & & \\ 
\hline
\end{array}
\]
\end{table}

\begin{satz}[Substitutionsregel]
\label{satz:Substitutionsregel}
Aus der Kettenregel
\[ 
\frac{d}{dx} F(g(x))=f(g(x)) g'(x),\quad f=F',
\]
folgt durch Bilden von Stammfunktionen f"ur eine Substiution $y=g(x)$
\begin{equation} 
\int f(g(x)) g'(x)\, dx = F(y) +c=\int f(y)\,dy \,.
\end{equation}
Entsprechend gilt
\[ 
\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(b))-F(g(a)) =
\int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\, dy 
\]
für bestimmte Integrale. Mit Hilfe von Differentialen läßt sich diese
Formel in der Form
\[ 
\int_a^b f(g(x)) \frac{dy}{dx}\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\,dy 
\]
schreiben.
\end{satz}

\begin{bsp}
\label{bsp:Substitutionsregel}
\begin{eqnarray}
\int\limits_0^1 \dfrac{e^x\,dx}{1+e^x} &
\underset{\textrm{Satz \ref{satz:Substitutionsregel}}}{=} & 
\int\limits_1^e \dfrac{du}{1+u} \nonumber \\ 
&=& \left[\ln|1+u|\right]_1^e 
\label{eq:bsp:Substitutionsregel} 
\end{eqnarray}
Für \eqref{eq:bsp:Substitutionsregel} wurde Tabelle
\ref{tab:Stammfunktionen} auf Seite \pageref{tab:Stammfunktionen}
verwendet.
\end{bsp}

\end{document}