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Material zur HM bei Prof. Dr. M. Stroppel: Bilder von Quadriken im Raum

Bilder von Quadriken im Raum

Wir zeigen im Folgenden grafische Darstellungen der interessanteren Quadriken im dreidimensionalen Raum. Die Gleichungen sind die affinen Normalformen (vgl. 6.3.6 und 6.3.7 in Kimmerle-Stroppel: Lineare Algebra und Geometrie für Ingenieure, Mathematiker und Physiker, Deilingen-Delkhofen: Ed. Delkhofen, ISBN 978-3936413-22-9).
(Wer das Buch nicht lesen mag, kann auch zur Vorlesung kommen.)

Die Grafiken wurden mit Maple™12 erstellt. In den Grafiken werden die Variablen mit x1, x2, x3 statt x1, x2, x3 bezeichnet.

Zuerst einige von den Quadriken zum Vergleich nebeneinander (jedes der folgenden acht Bilder ist ein Link zur näheren Erläuterung in der systematischen Aufstellung):
Doppelkegel zweischaliges Hyperboloid einschaliges Hyperboloid Ellipsoid
hyperbolischer Zylinder elliptisches Paraboloid hyperbolisches Paraboloid

(I) kegelige Quadriken 
ein Punkt
Doppelkegel
eine Gerade
schneidendes Paar
Doppelebene
  (II) Mittelpunktsquadriken
kein Punkt
zweischaliges / einschaliges Hyperboloid
Ellipsoid
hyperbolischer / elliptischer Zylinder
paralleles Paar
  (III) parabolische Quadriken
elliptisches Paraboloid
hyperbolisches Paraboloid
parabolischer Zylinder
 
 

(I) kegelige Quadriken


Die Gleichung x12+x22+x32=0 hat als einzige Lösung x=(0,0,0): Die Quadrik besteht also nur aus einem einzigen Punkt (und wir sparen uns das Bild).

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Die Gleichung x12+x22-x32=0 beschreibt einen Doppelkegel. In der Grafik sind einige Schnitte mit horizontalen Ebenen angedeutet: Dies sind Kreise.

Doppelkegel

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Die Gleichung x12+x22=0 erzwingt x1=0=x2: Die Quadrik besteht also aus einer (doppelt gezählten) Gerade, nämlich der dritten Koordinatenachse (und wir sparen uns das Bild).

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Die Gleichung x12-x22=0 beschreibt ein schneidendes Ebenenpaar:

schneidendes Paar

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Die Gleichung x12=0 beschreibt eine Doppelebene (das ist nur eine Ebene, aber diese wird "doppelt gezählt":

Doppelebene

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(I) kegelige Quadriken 
ein Punkt
Doppelkegel
eine Gerade
schneidendes Paar
Doppelebene
  (II) Mittelpunktsquadriken
kein Punkt
zweischaliges / einschaliges Hyperboloid
Ellipsoid
hyperbolischer / elliptischer Zylinder
paralleles Paar
  (III) parabolische Quadriken
elliptisches Paraboloid
hyperbolisches Paraboloid
parabolischer Zylinder
 
 

(II) Mittelpunktsquadriken


Die Gleichungen x12+x22+x32+1=0, x12+x22+1=0 und x12+1=0 haben überhaupt keine (reellen) Lösungen, diese Quadriken sind leer und wir sparen uns die Bilder.

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Die Gleichung x12+x22-x32+1=0 beschreibt ein zweischaliges Hyperboloid. Diese Quadrik entsteht durch Rotation einer Hyperbel (im Bild angedeutet: der Schnitt mit der vertikalen Ebene x2=0) um diejenige ihrer beiden Symmetrieachsen, die die beiden Äste der Hyperbel trifft. Die angedeuteten Schnitte mit horizontalen Ebenen sind Kreise.

zweischaliges Hyperboloid

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Die Gleichung x12-x22-x32+1=0 beschreibt ein einschaliges Hyperboloid. Diese Quadrik entsteht durch Rotation einer Hyperbel (im Bild angedeutet: der Schnitt mit der vertikalen Ebene x2=0) um diejenige ihrer beiden Symmetrieachsen, die die beiden Äste der Hyperbel nicht trifft. Die angedeuteten Schnitte mit horizontalen Ebenen sind Hyperbeln, ausgenommen die Schnitte mit den Ebenen x3=1 bzw. x3=-1: hier erhält man schneidende Geradenpaare.

einschaliges Hyperboloid

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Die Gleichung -x12-x22-x32+1=0 beschreibt ein Ellipsoid. Da die affine Normalform Eigenheiten der euklidischen Realisierung (nämlich unterschiedlich lange Halbachsen) verbirgt, zeigen wir auch ein Bild zu der euklidischen (aber nicht affinen) Normalform -1/20 x12-1/10 x22-1/8 x32+1=0 . Die ebenen Schnitte sind Ellipsen.

Ellipsoid Ellipsoid

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Die Gleichung x12-x22+1=0 beschreibt einen hyperbolischen Zylinder:

hyperbolischer Zylinder

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Die Gleichung -x12-x22+1=0 beschreibt einen elliptischen Zylinder:

elliptischer Zylinder

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Die Gleichung -x12+1=0 beschreibt ein paralleles Ebenenpaar:

paralleles Paar

(I) kegelige Quadriken 
ein Punkt
Doppelkegel
eine Gerade
schneidendes Paar
Doppelebene
  (II) Mittelpunktsquadriken
kein Punkt
zweischaliges / einschaliges Hyperboloid
Ellipsoid
hyperbolischer / elliptischer Zylinder
paralleles Paar
  (III) parabolische Quadriken
elliptisches Paraboloid
hyperbolisches Paraboloid
parabolischer Zylinder
 
 

(III) parabolische Quadriken


Die Gleichung x12+x22+2x3=0 beschreibt ein elliptisches Paraboloid. Dieses entsteht durch Rotation einer Parabel um deren Symmetrieachse. Die hier angedeuteten horizontalen Schnitte sind Kreise.

elliptisches Paraboloid

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Die Gleichung x12-x22+2x3=0 beschreibt ein hyperbolisches Paraboloid. Die gezeigte Darstellung erklärt hoffentlich auch den Namen "Sattelfläche". Die angedeuteten Schnitte mit horizontalen Ebenen sind Hyperbeln, ausgenommen der Schnitt mit der Ebene x3=0 : hier erhält man ein schneidendes Geradenpaar. Die Schnitte mit vertikalen Ebenen sind Parabeln.

hyperbolisches Paraboloid

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Die Gleichung x12+2x2=0 beschreibt einen parabolischen Zylinder:

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(I) kegelige Quadriken 
ein Punkt
Doppelkegel
eine Gerade
schneidendes Paar
Doppelebene
  (II) Mittelpunktsquadriken
kein Punkt
zweischaliges / einschaliges Hyperboloid
Ellipsoid
hyperbolischer / elliptischer Zylinder
paralleles Paar
  (III) parabolische Quadriken
elliptisches Paraboloid
hyperbolisches Paraboloid
parabolischer Zylinder
 
 
Das Layout beruht auf Vorgaben und Vorlagen der Universität Stuttgart.