In den folgenden Darstellungen wird jedes Mal eine lineare Abbildung (A, B, C oder D) veranschaulicht. Einerseits zeigen wir einen (schwarzen) Vektor v und seinen gelben Bild-Vektor, andererseits ist auch jeweils ein blassgrünes Dreieck samt seinem Bild zu sehen. Der von v aufgespannte eindimensionale Unterraum ist durch eine sehr breite graue Gerade angedeutet.
Sie können mit der Maus den schwarzen Vektor v bewegen (fassen Sie ihn dazu ganz an der Spitze an): Dabei bewegt sich der Bildvektor mit.
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Der schwarze Vektor v wird auf den gelben Vektor Av abgebildet, indem er an der dünnen roten Linie gespiegelt und dann auch noch mit dem Faktor 1/2 multipliziert wird.
Dies ist eine lineare Abbildung; in einem Koordinatensystem, dessen Achsen durch die rote und die blaue Gerade gebildet werden, wird diese Abbildung durch eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen 1/2 und -1/2 beschrieben.
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Wenn man den schwarzen Vektor so dreht, dass er auf die rote Linie zu liegen kommt, fällt auch der Bildvektor Av in diese Linie. Er zeigt dann in die gleiche Richtung wie der schwarze, ist aber nur halb so lang: Wir haben damit einen Eigenvektor zum Eigenwert 1/2 gefunden. Auch durch Streckung des Vektors v ändert sich nichts an dieser Beziehung (so lange Sie die Richtung beibehalten). Bewegt man den Vektor v auf die blaue Gerade, so fällt der Bildvektor Av wieder in die von v aufgespannte Gerade, zeigt aber in die umgekehrte Richtung: Jetzt ist v ein Eigenvektor zum Eigenwert -1/2. Sie können die rote Gerade ebenfalls bewegen. |
Dass hier jeder Eigenvektor zum Eigenwert 1/2 auf jedem Eigenvektor zum Eigenwert -1/2 senkrecht steht, ist ein Zufall.
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Hier wird v entlang der grünen Richtung auf die rote Gerade projiziert (Sie können diese Richtungen beide ändern). Finden Sie die Richtungen, in die Eigenvektoren zeigen?
Vektoren, die entlang der roten Geraden zeigen, werden bei der
Projektion überhaupt nicht verändert:
Vektoren, die genau entlang der Projektionsrichtung zeigen, sind
Eigenvektoren zum Eigenwert 0:
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Nicht bei jeder linearen Abbildung treten Eigenvektoren mit verschiedenen Richtungen auf:
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Hier wird v parallel zur roten Richtung geschert (Sie können die rote Richtung und das Ausmaß der Scherung ändern). Finden Sie die Richtungen, in die Eigenvektoren zeigen?
Vektoren, die entlang der roten Geraden zeigen, werden bei der
Scherung überhaupt nicht verändert:
Andere Eigenvektoren gibt es nicht! |
Schließlich noch ein Beispiel einer linearen Abbildung, die gar keine (reellen) Eigenwerte hat:
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Wir drehen v (und Sie können den Drehwinkel ändern). Finden Sie einen Drehwinkel, zu dem es dann doch Eigenvektoren gibt? |
Erzeugt von M. Stroppel mit Hilfe von Cinderella