% Uniform B-splines 
% B-spline@uniform

Der uniforme B-Spline $b^n$ vom Grad $n>0$ kann, 
ausgehend von der charakteristischen Funktion 
$b^0$ des Intervalls $[0,1)$, durch die 
Rekursion 
\[
b^n(x) = \int_0^1 b^{n-1}(x-y)\,dy
\]
definiert werden. 
Diese Identität 
ist äquivalent zu der Ableitungsformel
\[
\frac{d}{dx} b^n(x) = 
 b^{n-1}(x) - b^{n-1}(x-1)
\]
mit $b^n(0)=0$. 

\begin{center}
\includegraphics[clip,width=.9\linewidth]{spline_average}
\end{center}

\par 
Als Spezialfall des allgemeinen B-Splines mit 
dem Knotenvektor $\xi = (0,1,\ldots,n+1)$ ist 
$b^n$ 

\begin{itemize}
\item 
positiv auf $(0,n+1)$ und null außerhalb dieses 
Intervalls;
\item
ein Polynom vom Grad $n$ auf jedem 
Knotenintervall $[k,k+1]$;
\item 
$(n-1)$-mal stetig differenzierbar.
\end{itemize}
Darüber hinaus gilt die Rekursionsformel
\[
n b^n(x) = 
x b^{n-1}(x) + (n+1-x) b^{n-1}(x-1)
.  
\]

Quelle: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs25/seite14.html