1.\,M\"oglichkeit:
\medskip

Aus der Orthogonalit\"atsbedingung
\[ (\vec{q}-\vec{y})\cdot \vec{u} 
  = (\vec{q}-\vec{p}-\lambda\vec{u})\cdot \vec{u} = 0 \]
folgt 
$(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{u} = \lambda\vec{u}\cdot\vec{u}$,
also
\[ \lambda\ =\ \frac{(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}\ =\
  \frac{1}{18}\,
  \left(\begin{array}{r} 1+2 \\ 3-0 \\ -2-1\end{array}\right)\cdot
  \left(\begin{array}{r} 4 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\ =\ 1. \]
Der am n\"achsten bei $Q$ gelegene Punkt auf $g$ besitzt somit den 
Ortsvektor
\[ \vec{y} = \vec{p}+1\cdot\vec{u} = \left(\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\
    0 \end{array}\right), \]
und der gesuchte Abstand ist
\[ d = |\vec{q}-\vec{y}| 
  = \left|\left(\begin{array}{r} 1-2 \\ 3-1 \\ -2-0 \end{array}\right)\right|
  = 3. \]
\medskip

2.\,M\"oglichkeit:
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Einsetzen in die Formel \
${\displaystyle{d = \frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}}}$ \
liefert
\[ d\ =\ \frac{1}{\sqrt{18}}\,
  \left|\left(\begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ -3 \end{array}\right)
  \times\left(\begin{array}{r} 4 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\right|\
  =\ \frac{1}{3\sqrt{2}}\, 
  \left|\left(\begin{array}{r} 0 \\ -9 \\ -9 \end{array}\right)\right|\
  =\ 3. \]