Direkt zu

zur Startseite

Harmonische Analysis

Dozent
Apl. Prof. Dr. Jens Wirth
Zeit/Ort
Dienstag 11:30 - 13:00 Uhr im Seminarraum 8.526
Dienstag 15:45 - 17:15 Uhr im Seminarraum 8.526
Freitag 9:45 - 11:15 Uhr im Seminarraum 8.339
Übungsblätter
Siehe Vorlesungshomepage.
Inhalt

Gegenstand der Vorlesung ist eine Einführung in die abstrakte harmonische Analysis. Ziel ist dabei eine weitreichende Verallgemeinerung der aus den Grundvorlesungen bekannten Theorie der Fourierreihen und der Fouriertransformation hin zu einer Strukturtheorie von Banachalgebren über homogenen Räumen.

Die Vorlesung wird sich inhaltlich an das Buch von G. Folland A Course in Abstract Harmonic Analysis anlehnen. Vorausgesetzt werden deshalb gute Kenntnisse der Funktionalanalysis. Aufbauend darauf werden behandelt

  1. Spektraltheorie von Banachalgebren; das Spektrum einer Algebra; die Sätze von Gelfand-Naimark; Konstruktion von Spektralmaßen
  2. Topologische Gruppen; die Existenz des Haarmaßes; unitäre Darstellung und zyklische Vektoren; Irreduzibilitätskriterien und Schur-Lemma; Funktionen positiven Typs; der Satz von Gelfand-Raikov
  3. Lokalkompakte abelsche Gruppen; Pontrjagin-Dualität; Fourierreihen und Fouriertransformation; Spektralzerlegungen; Sätze von Stone und Floquet-Bloch
  4. Kompakte Gruppen; der Satz von Peter-Weyl; Laplacereihen
  5. Heisenberggruppen; der Satz von Stone-von-Neumann; Weylquantisierung und Phasenraum

Neben der Vorlesung werden Übungen stattfinden, in welchen die abstrakten Resultate in konkretem Kontext diskutiert und verwandte Themen vorgestellt werden.

Scheinbedingung: Aktive Mitarbeit in Vorlesungen und Übungen.